Esferas

- definição

É uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância ou a uma distância menor de seu centro, ou seja, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

  

- elementos

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:

  

pólos: são as interseções da superfície com o eixo, P₁ e P₂;

paralelo: é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo;

equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;

meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

raio: é a distância do centro da esfera a qualquer ponto de sua superfície.

- superfície esférica

Chama-se superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.

• obs.:

Não confundir esfera com superfície esférica. A superfície esférica é apenas a “casca” da esfera; a esfera é a reunião da superfície com o conjunto de pontos interiores. Dois bons modelos de superfície esférica e esfera são uma bolinha de pingue-pongue e uma bola de bilhar, respectivamente. A bolinha de pingue-pongue é apenas uma “casca” (“superfície esférica”); e a bola de bilhar é maciça (“esfera”).

- área da superfície esférica

A área da superfície esférica é dada por:

 S_E = 4.p.r²

 - volume da esfera

O volume da esfera de raio R é dado por:

   

- fuso esférico

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo a(0 < a < 360º) em torno de seu eixo:

 - área do fuso

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

SE	_____	360º
SF	_____	a

Logo:

4p.r2	_____	360º
SF	_____	a

- cunha esférica

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo a(0 < a < 360º):

- volume da cunha

Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente. O volume da cunha é diretamente proporcional a a.

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:

Se quiser, faça o download em doc. desse artigo:

Cilindros

- definição

É o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução (giro) de um retângulo em torno de um de seus lados.

Considere dois planos, a e b, paralelos, um círculo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

- elementos

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raio r;

altura: a distância h entre os planos;

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por exemplo,) e  paralelo à reta r;

eixo: a retaque passa pelos centros das bases;

raio da base: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência de uma de suas bases.

- classificação

- cilindro reto

Quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

- cilindro oblíquo

Quando as geratrizes são oblíquas às bases.

- cilindro eqüilátero

É todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base).

Nesse cilindro a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2r.

- secções

- secção meridiana

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

- secção transversal

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.

Todas as secções transversais são congruentes.

- cálculos das superfícies

- área da base (s_b)

É a área do círculo de raio r.

S_B = pr²

- área lateral (s_l)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujo raio do círculo da base é r é um retângulo de dimensões 2pr e h.

S_L = 2pr.h

- área total (s_t)

É a soma da área lateral com as áreas das bases.

S_T = S_L + 2.S_B Þ S_T = 2p.r.h + 2p.r²

S_T = 2p.r.(h + r)

- cálculo do volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar o Princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano b, paralelo ao plano a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

a // b e A₁ = A₂ Þ V₁ = V₂

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = S_B.h.

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura, logo:

V_cilindro = S_B.h

V_cilindro = pr².h


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Pirâmides

- definição

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. Logo, Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

- elementos da pirâmide

As pirâmides são tipos especiais de poliedros, e nelas podemos destacar os seguintes elementos:

vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado V mais distante da base da pirâmide, o ponto V;

base: É a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. Na figura acima, o polígono ABCDE;

arestas da base: É qualquer um dos lados do polígono da base. No exemplo dado, os segmentos 

arestas laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. Nesse caso: 

faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. Na figura são os triângulos ABV, BCV, CDV, DEV e EAV;
altura:(distância do vértice V ao plano da base);

apótema da base: O segmento que une o centro da base da pirâmide ao ponto médio de uma aresta da base. 

Na figura

apótema da pirâmide: É a altura de cada face lateral.na figura dada.

- classificação das pirâmides

- pirâmide reta

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes.

- pirâmide oblíqua

- nomenclatura

- pirâmide regular

É toda pirâmide reta, cujo polígono da base é egular.

R: raio do círculo circunscrito;

r: raio do círculo inscrito;

l: aresta da base;

ap: apótema de uma face lateral;

h: altura da pirâmide;

al: aresta lateral.

É importante notar que numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

- áreas da superfície de uma pirâmide

- área da base (s_b)

Para se calcular a área da base de uma pirâmide basta encontrar a área do polígono que forma a base desse sólido. Essas fórmulas são encontradas em geometria plana.

- área lateral (s_l)

A área lateral da pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.

- área total (s_t)

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

S_T = S_B + S_L

- volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é: 

- relações métricas

A partir das pirâmides regulares que são as que aparecem com mais freqüência em nosso cotidiano, é possível determinar as medidas de todos os seus elementos, conhecendo-se alguns deles. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados a partir dos elementos da pirâmide. 

Considere a pirâmide regular da figura e observe os exemplos:

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: g² = h² + m².

Sendo l a medida do lado do polígono regular que é a base temos

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: a² = h² + r².

- secção de uma pirâmide

A secção é determinada numa pirâmide por um plano paralelo à base é denominada secção transversal.

Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h. Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que é chamado tronco da pirâmide inicial:

Volume do tronco de pirâmide:

onde:

h é a altura do tronco;

B é a área da base maior;

b é a área da base menor.

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