Cilindros

- definição

É o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução (giro) de um retângulo em torno de um de seus lados.

Considere dois planos, a e b, paralelos, um círculo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

- elementos

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raio r;

altura: a distância h entre os planos;

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por exemplo,) e  paralelo à reta r;

eixo: a retaque passa pelos centros das bases;

raio da base: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência de uma de suas bases.

- classificação

- cilindro reto

Quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

- cilindro oblíquo

Quando as geratrizes são oblíquas às bases.

- cilindro eqüilátero

É todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base).

Nesse cilindro a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2r.

- secções

- secção meridiana

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

- secção transversal

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.

Todas as secções transversais são congruentes.

- cálculos das superfícies

- área da base (s_b)

É a área do círculo de raio r.

S_B = pr²

- área lateral (s_l)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujo raio do círculo da base é r é um retângulo de dimensões 2pr e h.

S_L = 2pr.h

- área total (s_t)

É a soma da área lateral com as áreas das bases.

S_T = S_L + 2.S_B Þ S_T = 2p.r.h + 2p.r²

S_T = 2p.r.(h + r)

- cálculo do volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar o Princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano b, paralelo ao plano a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

a // b e A₁ = A₂ Þ V₁ = V₂

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = S_B.h.

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura, logo:

V_cilindro = S_B.h

V_cilindro = pr².h


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