GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

- Introdução

- Ideia de ponto, reta e plano

A definição de um ponto, uma reta ou um plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem é sua representação geométrica e espacial.

Ponto: É um corpo geométrico que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é adimensional. É representado por letras latinas maiúsculas; Ex: A, B, C,...

Reta: É um corpo que tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. É representada por letras minúsculas; Ex: a, b, c,...

Plano: É um corpo geométrico formado por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja, é bidimensional, possui largura e comprimento infinitos e não possui espessura. É representado por letras gregas minúsculas;

Ex:

Plano:

- Espaço

É o conjunto de todos os pontos, retas e planos. É tridimensional.

Uma primeira tentativa para explicar isto, é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para frente, para o lado e para cima.

Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar a posição relativa que ocupamos.

- axiomas (postulados) e teoremas

Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria.

Na matemática, axiomas são hipóteses iniciais dos quais outros enunciados são logicamente derivados. Podem ser sentenças, proposições, enunciados ou regras que permitem a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas).

• 
  
  
   postulados ou axiomas: São definições que relacionam conceitos primitivos e aceitamos como verdadeiras sem demonstração.
  
  
  
  
• 
  
  
  teoremas: Propriedades que devem ser justificadas com base nos postulados. Para serem aceitos como verdade precisam ser demonstrados.
  
  
  
  

Exemplos de Postulados (axiomas)

P1) Numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos.

P2) Num plano, bem como fora dele há infinitos pontos e infinitas retas.

P3) Por um ponto podem passar infinitas retas.

P4) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P5) Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.

P6) Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contida nesse plano.

P7) Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem uma reta em comum.

P8) Postulado de Euclides: Dada uma reta r qualquer e um ponto P fora dessa reta, existe apenas uma reta que passa por P e é paralela à reta r.

- Posições relativas entre dois pontos

Os pontos A, B e C são colineares.                                      Os pontos D, E e F não são colineares.

- Posições relativas entre um ponto e uma reta

- determinação de um plano


Um plano fica determinado por:

3 pontos não-colineares

2 retas paralelas distintas

2 retas concorrentes

 

1 reta e 1 ponto fora dela

- posições relativas entre duas retas

- retas coplanares

Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contêm todas elas.

- retas paralelas: Sejam duas retas r e s pertencentes a um plano . Diz-se que r é paralela a s (r//s) se, e somente se, r e s são coincidentes (r  s) ou se a intersecção de r e s é um conjunto vazio, ou seja, elas não possuem pontos comuns.

Ex.:

- retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

- retas concorrentes: duas retas são concorrentes se possuem apenas um ponto comum.

- obs.:


i) Duas retas são perpendiculares se são retas concorrentes e se cruzam formando um ângulo de 90º.

- retas reversas

Duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas.

Ex.:

- obs.:


i) Retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas;


ii) Retas que tem um único ponto comum são chamadas de retas concorrentes;


iii) Dadas duas retas, quando não existe um plano que contêm as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não-coplanares);


iv) No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes.

- posições relativas entre uma reta e um plano

- reta contida no plano: considerando uma reta r e um plano alfa, r está contido em alfa se todos os infinitos pontos de r pertencerem a alfa.

- reta paralela ao plano: considere uma reta r e um plano alfa, eles serão paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum.

- retas e planos secantes ou concorrentes: a reta r será concorrente ao plano alfa se possuírem um ponto em comum.

- obs.:

i) Uma reta r é perpendicular a um plano alfa se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de alfa que passam pelo ponto de intersecção de r e alfa.

- posições relativas entre dois planos

• planos paralelos: Dois planos são considerados paralelos distintos se não possuírem pontos em comum.

Ex.:

• planos secantes: Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles for uma reta.

Ex.:

obs.:

i) Dois planos, alfa e beta, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta r de um deles que é perpendicular ao outro:

• planos coincidentes: planos coincidentes ou paralelos iguais equivalem a um mesmo plano, ou seja, todos os infinitos pontos e retas de um deles pertencem ao outro.

Ex.:

- Fórmula de Euller


A fórmula de Euller é dada pela expressão V + F - A = 2, onde V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro. Euller descobriu-a em 1.750 e fez extensas verificações da sua conjectura, para diversos tipos de sólidos, mas não apresentou nenhuma demonstração, dizendo o seguinte:

"Devo admitir em primeiro lugar que ainda não consegui uma demonstração rigorosa deste teorema... Como, em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, não pode haver dúvidas que é verdadeiro para qualquer sólido. Portanto a proposição parece satisfatoriamente demonstrada".

Mais tarde, Euller acabou por apresentar uma demonstração. Para Euller, o teorema aplicar-se-ía a todos os poliedros. No entanto, vários matemáticos atacaram essa tese, contestando o fato de não ser dada uma definição inequívoca de poliedro. Este fato originou uma grande controvérsia à volta deste teorema, levando a sucessivas demonstrações e refutações da sua validade.

- Referências:
- http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma - acessado em 15/08/2008
- http://pt.wikipedia.org/wiki/Paralelismo - acessado em 15/08/2008
- http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fm_euler.htm - acessado em 23/08/2008
- http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial5.php - acessado em 13/08/2008
- www.prof2000.pt/users/portoint/testes/ate20012002/ano10/tgrupo10/Geometria_RioTinto.ppt - acessado em 15/08/2008

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