Esferas

- definição

É uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância ou a uma distância menor de seu centro, ou seja, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

  

- elementos

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:

  

pólos: são as interseções da superfície com o eixo, P₁ e P₂;

paralelo: é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo;

equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;

meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

raio: é a distância do centro da esfera a qualquer ponto de sua superfície.

- superfície esférica

Chama-se superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.

• obs.:

Não confundir esfera com superfície esférica. A superfície esférica é apenas a “casca” da esfera; a esfera é a reunião da superfície com o conjunto de pontos interiores. Dois bons modelos de superfície esférica e esfera são uma bolinha de pingue-pongue e uma bola de bilhar, respectivamente. A bolinha de pingue-pongue é apenas uma “casca” (“superfície esférica”); e a bola de bilhar é maciça (“esfera”).

- área da superfície esférica

A área da superfície esférica é dada por:

 S_E = 4.p.r²

 - volume da esfera

O volume da esfera de raio R é dado por:

   

- fuso esférico

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo a(0 < a < 360º) em torno de seu eixo:

 - área do fuso

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

SE	_____	360º
SF	_____	a

Logo:

4p.r2	_____	360º
SF	_____	a

- cunha esférica

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo a(0 < a < 360º):

- volume da cunha

Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente. O volume da cunha é diretamente proporcional a a.

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:

Se quiser, faça o download em doc. desse artigo:

Cilindros

- definição

É o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução (giro) de um retângulo em torno de um de seus lados.

Considere dois planos, a e b, paralelos, um círculo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

- elementos

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raio r;

altura: a distância h entre os planos;

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por exemplo,) e  paralelo à reta r;

eixo: a retaque passa pelos centros das bases;

raio da base: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência de uma de suas bases.

- classificação

- cilindro reto

Quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

- cilindro oblíquo

Quando as geratrizes são oblíquas às bases.

- cilindro eqüilátero

É todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base).

Nesse cilindro a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2r.

- secções

- secção meridiana

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

- secção transversal

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.

Todas as secções transversais são congruentes.

- cálculos das superfícies

- área da base (s_b)

É a área do círculo de raio r.

S_B = pr²

- área lateral (s_l)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujo raio do círculo da base é r é um retângulo de dimensões 2pr e h.

S_L = 2pr.h

- área total (s_t)

É a soma da área lateral com as áreas das bases.

S_T = S_L + 2.S_B Þ S_T = 2p.r.h + 2p.r²

S_T = 2p.r.(h + r)

- cálculo do volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar o Princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano b, paralelo ao plano a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

a // b e A₁ = A₂ Þ V₁ = V₂

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = S_B.h.

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura, logo:

V_cilindro = S_B.h

V_cilindro = pr².h


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Pirâmides

- definição

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. Logo, Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

- elementos da pirâmide

As pirâmides são tipos especiais de poliedros, e nelas podemos destacar os seguintes elementos:

vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado V mais distante da base da pirâmide, o ponto V;

base: É a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. Na figura acima, o polígono ABCDE;

arestas da base: É qualquer um dos lados do polígono da base. No exemplo dado, os segmentos 

arestas laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. Nesse caso: 

faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. Na figura são os triângulos ABV, BCV, CDV, DEV e EAV;
altura:(distância do vértice V ao plano da base);

apótema da base: O segmento que une o centro da base da pirâmide ao ponto médio de uma aresta da base. 

Na figura

apótema da pirâmide: É a altura de cada face lateral.na figura dada.

- classificação das pirâmides

- pirâmide reta

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes.

- pirâmide oblíqua

- nomenclatura

- pirâmide regular

É toda pirâmide reta, cujo polígono da base é egular.

R: raio do círculo circunscrito;

r: raio do círculo inscrito;

l: aresta da base;

ap: apótema de uma face lateral;

h: altura da pirâmide;

al: aresta lateral.

É importante notar que numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

- áreas da superfície de uma pirâmide

- área da base (s_b)

Para se calcular a área da base de uma pirâmide basta encontrar a área do polígono que forma a base desse sólido. Essas fórmulas são encontradas em geometria plana.

- área lateral (s_l)

A área lateral da pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.

- área total (s_t)

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

S_T = S_B + S_L

- volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é: 

- relações métricas

A partir das pirâmides regulares que são as que aparecem com mais freqüência em nosso cotidiano, é possível determinar as medidas de todos os seus elementos, conhecendo-se alguns deles. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados a partir dos elementos da pirâmide. 

Considere a pirâmide regular da figura e observe os exemplos:

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: g² = h² + m².

Sendo l a medida do lado do polígono regular que é a base temos

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: a² = h² + r².

- secção de uma pirâmide

A secção é determinada numa pirâmide por um plano paralelo à base é denominada secção transversal.

Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h. Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que é chamado tronco da pirâmide inicial:

Volume do tronco de pirâmide:

onde:

h é a altura do tronco;

B é a área da base maior;

b é a área da base menor.

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Cone

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- Definição

Considere uma região plana limitada por uma curva, de raio R e um ponto P fora desse ponto.

Cone é o sólido formado a partir da reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

- Elementos

• Vértice: é o ponto P onde todos os segmentos de reta se encontram;
• Base: é denominada base a região circular a partir da qual o cone foi formado;
• Eixo: o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base;
• Geratriz: é qualquer segmento de reta que possui uma de suas extremidades no vértice e a outra na curva do círculo que é sua base;
• Altura: é a distância do vértice do cone ao plano da base.

  

- Classificação

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos.

- Cone reto

O cone é dito reto quando seu eixo é perpendicular ao plano da base.

Em um cone circular reto, a face lateral é formada por geratrizes (g) que são linhas retas que ligam o vértice superior aos pontos constituintes do círculo.

Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g² = h² + r², que pode ser observada na figura:

- Cone oblíquo

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.

  

- Cone eqüilátero

Um cone é considerado eqüilátero, se o valor da geratriz é igual ao diâmetro da base.

 - Área do cone

- Área da base (s_b)

É a área da região circular que forma a base do cone.

S_B = p.r²

- Área lateral (s_l)

A área lateral do cone planificada tem a fórmula de um setor, então a sua fórmula é:

S_L = p.r.g

  

- Área total (s_t)

A área total do cone é a soma da área lateral e da área da base, então:

S_T = S_L + S_B

S_T = p.r.g + p.r²

S_T = p.r.(g + r)

  

- Volume

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

 - Secções

- Secção meridiana

A seção meridional do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone.

- Secção transversal

Quando temos um cone e um plano b paralelo á base e posicionado entre ela e o vértice V, a intersecção não-vazia do plano com o cone é chamada de secção transversal. Ela é um círculo.

   

- Tronco do cone

Considerando um plano a paralelo à base do cone dividindo um cone reto em dois outros sólidos.

Um deles é um cone menor semelhante ao primeiro, o outro é o tronco do cone circular de bases paralelas.

Sendo o tronco do cone circular a seguir, temos:

- Áreas do tronco

- Área lateral

S_L = p.(R + r).g

- Área total

S_T = S_L + S_B + S_b

S_T = p.(R + r).g + p.R² + p.r²

S_T = p.[(R + r).g + R² + r²]

- Volume do tronco de um cone

Consideremos um tronco de cone de bases paralelas e de altura h e sejam S_b e S_B as áreas, respectivamente, da base menor e da base maior.

O volume V desse tronco é a diferença V2 – V1, na qual V2 é o volume do cone maior e V1 é o volume do cone menor.

Podemos calcular V pela formula:

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