Pirâmides

- definição

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer do polígono. Logo, Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões triangulares. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

- elementos da pirâmide

As pirâmides são tipos especiais de poliedros, e nelas podemos destacar os seguintes elementos:

vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado V mais distante da base da pirâmide, o ponto V;

base: É a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. Na figura acima, o polígono ABCDE;

arestas da base: É qualquer um dos lados do polígono da base. No exemplo dado, os segmentos 

arestas laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. Nesse caso: 

faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. Na figura são os triângulos ABV, BCV, CDV, DEV e EAV;
altura:(distância do vértice V ao plano da base);

apótema da base: O segmento que une o centro da base da pirâmide ao ponto médio de uma aresta da base. 

Na figura

apótema da pirâmide: É a altura de cada face lateral.na figura dada.

- classificação das pirâmides

- pirâmide reta

Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes.

- pirâmide oblíqua

- nomenclatura

- pirâmide regular

É toda pirâmide reta, cujo polígono da base é egular.

R: raio do círculo circunscrito;

r: raio do círculo inscrito;

l: aresta da base;

ap: apótema de uma face lateral;

h: altura da pirâmide;

al: aresta lateral.

É importante notar que numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

- áreas da superfície de uma pirâmide

- área da base (s_b)

Para se calcular a área da base de uma pirâmide basta encontrar a área do polígono que forma a base desse sólido. Essas fórmulas são encontradas em geometria plana.

- área lateral (s_l)

A área lateral da pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.

- área total (s_t)

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

S_T = S_B + S_L

- volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é: 

- relações métricas

A partir das pirâmides regulares que são as que aparecem com mais freqüência em nosso cotidiano, é possível determinar as medidas de todos os seus elementos, conhecendo-se alguns deles. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados a partir dos elementos da pirâmide. 

Considere a pirâmide regular da figura e observe os exemplos:

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: g² = h² + m².

Sendo l a medida do lado do polígono regular que é a base temos

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: a² = h² + r².

- secção de uma pirâmide

A secção é determinada numa pirâmide por um plano paralelo à base é denominada secção transversal.

Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h. Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que é chamado tronco da pirâmide inicial:

Volume do tronco de pirâmide:

onde:

h é a altura do tronco;

B é a área da base maior;

b é a área da base menor.

Se quiser, faça o download em doc. desse artigo: