Relação de Inclusão

É toda relação entre e exclusivamente dois conjuntos no qual visa comparar e identificar se um conjunto está incluso/contido no outro.

De modo geral, dizemos que um conjunto ‘A’ está incluso/contido em outro conjunto ‘B’ se e somente se todo elemento de A também for elemento de B.

Na primeira ler-se " A está contido em B se e somente se  qualquer que seja x, x pertencer a A  e x pertence a B
na segunda ler-se B contém A. Ambas são iguais.

Representação por diagrama de  A contido em B.

Obs.: quando um conjunto não contém o outro, representamos por:

Em diagramas

Ex.: 

Se o conjunto V = {a; e; i; o; u} e o conjunto A = {a; e} e B= {i; o; b}, podemos afirmar que A está contido em V (ou V contém A), pois todo elemento de A é elemento de V, mas não podemos dizer que V está contido em A porque nem todo elemento de V é elemento de A. Assim como podemos afirmar que B não está contido em V, pois para justificar a inclusão é necessário mesmo que existam elementos em comum que todo elemento de B fosse elemento de V. Neste caso temos:

Propriedades da inclusão:

Pense Bem₁: Seja A = {a; {b}; c}. Atribua valor lógico as afirmações V (verdadeiro) F (falso)

Resposta: V F V F V V F

-Subconjuntos

Seja um conjunto B, e outro conjunto A. Diz-se que B é subconjunto de A, quando este está contido em A, ou seja:

                         

Obs.: os subconjuntos são formados pelos elementos do conjunto.

-Conjunto das partes

É o conjunto formado por todos os possíveis subconjuntos de A

Então se A = {a; b; c}. Todos estes são subconjuntos de A:

B =  {a}           A₁ = {a; b}

A₁ = {b}           A₁ = {a; c}

A₁ = {c}           A₁ = {b; c}

A₁ = {  }           A₁ = {a; b; c}

P(A)={{a}; {a; b}; {b}; {a; c}; {c}; {b; c}; {  }; {a; b; c}}

Contando os subconjuntos temos que n(P(A)) = 8 ma forma mais prática de se encontrar quantos possíveis subconjuntos um conjunto qualquer tem é:

Onde 'n' é o cardinal do conjunto

No caso do conjunto A, temos 3 elementos logo n = 3 então

Pense Bem2 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:

a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
e)10

R: 10

Pense Bem3 - Sendo A = { } determine n(P(A))

R: 1

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Referências: Vol. 1 Manuel Paiva, Matemática

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A Teoria dos Conjuntos

Define-se conjunto como sendo uma coleção de vários elementos que gozam de uma mesma propriedade.

Como por exemplo, o conjunto das vogais do alfabeto

O conjunto V é o conjunto das vogais formado por "a, e, i o, u".

Formas de representar um conjunto:

-Forma Tabular

Existem três tipos de maneira de se representar um conjunto, a primeira delas seria a representação tabular, que sugere representar um conjunto de forma de uma tabela, escrevendo seus elementos em forma de tabela, entre chaves e separados vírgula ou ponto e vírgula.

Ex.: 

                         

-Representação por Diagrama

Os elementos de um conjunto são representados por pontos e interiores a uma região plana limitada por linha fechada simples:                                           

                      

                       

-Representação Através de uma Propriedade

Se uma propriedade é comum a todos os elementos do conjunto e, se e somente se, estes elementos têm essa propriedade, o conjunto pode ser escrito na forma:

V = { x | x é uma vogal}

Obs.: ler-se V é o conjunto de todos os elementos que é uma vogal (V é igual a x tal que x é uma vogal).

-Tipos de Conjuntos

Conjunto unitário

            É todo conjunto formado apenas por um único elemento.

A = {2}                                                            B = { x | x é a estrela do sistema solar}

Conjunto vazio

A = {.x | x é palavra proparoxítona da, língua portuguesa não acentuada} = { }

Conjunto Vazio em forma de diagrama

                              

-Conjunto Finito

Diz-se que um conjunto é finito quando possível contar a quantidade de elementos há no conjunto

           

Ex.: O conjunto das vogais V = {a; e; i; o; u} possui 5 elementos, portanto é um conjunto finito. Cardinal de um conjunto é o nome que se da ao número de elementos do conjunto, sendo assim, a cardinalidade de V é 5, representado dessa forma.

                               

  n(V) = 5      ou #V = 5

-Conjunto infinito

Diz-se que um conjunto é infinito quando não possível contar a quantidade de elementos há no conjunto

          

  Ex.: O conjunto dos números naturais pares N = {2; 4; 6; 8; ...}

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Referências: Vol. 1 Manuel Paiva, Matemática

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Esferas

- definição

É uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância ou a uma distância menor de seu centro, ou seja, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

  

- elementos

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos:

  

pólos: são as interseções da superfície com o eixo, P₁ e P₂;

paralelo: é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo;

equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície;

meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

raio: é a distância do centro da esfera a qualquer ponto de sua superfície.

- superfície esférica

Chama-se superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.

• obs.:

Não confundir esfera com superfície esférica. A superfície esférica é apenas a “casca” da esfera; a esfera é a reunião da superfície com o conjunto de pontos interiores. Dois bons modelos de superfície esférica e esfera são uma bolinha de pingue-pongue e uma bola de bilhar, respectivamente. A bolinha de pingue-pongue é apenas uma “casca” (“superfície esférica”); e a bola de bilhar é maciça (“esfera”).

- área da superfície esférica

A área da superfície esférica é dada por:

 S_E = 4.p.r²

 - volume da esfera

O volume da esfera de raio R é dado por:

   

- fuso esférico

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo a(0 < a < 360º) em torno de seu eixo:

 - área do fuso

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

SE	_____	360º
SF	_____	a

Logo:

4p.r2	_____	360º
SF	_____	a

- cunha esférica

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo a(0 < a < 360º):

- volume da cunha

Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente. O volume da cunha é diretamente proporcional a a.

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:

Se quiser, faça o download em doc. desse artigo:

Cilindros

- definição

É o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução (giro) de um retângulo em torno de um de seus lados.

Considere dois planos, a e b, paralelos, um círculo de centro O e raio contido num deles, e uma reta r concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no circulo e no outro plano.

- elementos

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raio r;

altura: a distância h entre os planos;

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por exemplo,) e  paralelo à reta r;

eixo: a retaque passa pelos centros das bases;

raio da base: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência de uma de suas bases.

- classificação

- cilindro reto

Quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

- cilindro oblíquo

Quando as geratrizes são oblíquas às bases.

- cilindro eqüilátero

É todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base).

Nesse cilindro a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2r.

- secções

- secção meridiana

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

- secção transversal

É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.

Todas as secções transversais são congruentes.

- cálculos das superfícies

- área da base (s_b)

É a área do círculo de raio r.

S_B = pr²

- área lateral (s_l)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujo raio do círculo da base é r é um retângulo de dimensões 2pr e h.

S_L = 2pr.h

- área total (s_t)

É a soma da área lateral com as áreas das bases.

S_T = S_L + 2.S_B Þ S_T = 2p.r.h + 2p.r²

S_T = 2p.r.(h + r)

- cálculo do volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar o Princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano b, paralelo ao plano a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

a // b e A₁ = A₂ Þ V₁ = V₂

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = S_B.h.

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura, logo:

V_cilindro = S_B.h

V_cilindro = pr².h


Se quiser, faça o download em doc. desse artigo: